3. 伯克利基數(Berkeley cardinal)：標準定義，對任意包含κ的傳遞集M及任意α＜κ，存在非平凡初等嵌j:M→M，滿足α＜crit(j)＜κ。伯克利基數比Reinhardt基數更強，且與選擇公理(AC)不相容。
二、強化伯克利基數：1. HOD-Berkeley基數：限制在HOD(傳序數可定義集)的伯克利基數，即對HOD中任意包含κ的傳遞集M及任意α＜κ，存在非平凡初等嵌j:M→M，滿足α＜crit(j)＜κ。HOD-Berkeley基數弱於完整伯克利基數(因限制在更小的HOD模型中)。
2. club Berkeley基數(閉無界伯克利基數)：正則基數κ，滿足對κ的任意閉無界子集C及任意包含κ的傳遞集M，存在非平凡初等嵌j:M→M，其臨界點crit(j)∈C。club Berkeley基數強於普通伯克利基數，且每個club Berkeley基數都是完全Reinhardt基數。
3. limit club Berkeley基數(極限閉無界伯克利基數)：既是club Berkeley基數，又是伯克利基數的極限。比普通club Berkeley基數更強，其結構(V?, V???)滿足“存在超Reinhardt伯克利基數”。
4. rank Berkeley基數(秩伯克利基數)：由Schlutzenberg引，定義為對所有大於λ的序數η及任意α＜λ，存在非平凡初等嵌j:V?→V?，滿足α＜crit(j)＜λ 。rank Berkeley基數強於普通伯克利基數，且與Vopěnka原理有切聯絡。
三、特殊伯克利基數：- Θ-Berkeley基數：與Θ(所有序數可定義實數集的序型)相關的伯克利基數，如AD?公理下ω?是club Θ-Berkeley基數。
- X-閉rank Berkeley基數：附加X-閉條件的rank Berkeley基數，要求嵌j滿足j(X)=j【X】 。
關鍵關係說明：1. 最小伯克利基數=最小proto-Berkeley基數(δ?)。
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